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ANTECEDENTES: OS FRACTAIS

Um fractal é um objecto geométrico cuja estrutura básica se repete a diferentes escalas. Os objectos fractais podem ser naturais ou artificiais (fractais matemáticos). Exemplos de fractais naturais são as linhas costeiras, os perfis das montanhas, as ramificações dos rios, a forma dos relâmpagos, algumas folhas, árvores e vegetais. A principal característica de um fractal natural é a auto-similaridade aproximada. Por outro lado, os fractais matemáticos definem-se através de um algoritmo recursivo e possuem detalhe a qualquer escala de observação; este fenómeno é conhecido como auto-similaridade exacta.

Na imagem: : O bróculo é um exemplo de fractal natural com auto-similaridade aproximada.

Na imagem: o triângulo de Sierpinski é um dos fractais matemáticos mais conhecidos sendo um exemplo claro de auto-similaridade exacta.

SISTEMAS DESORDENADOS. A TRANSIÇÃO DE ANDERSON

O estudo das propriedades dos sistemas desordenados tem sido objecto de intensa investigação nos últimos cinquenta anos. Um dos aspectos mais fascinantes destes sistemas, em mais de duas dimensões, é o aparecimento da transição da fase metal-isolador devido à alteração da amplitude de desordem. Esta transição é conhecida como transição de Anderson. Na fase metálica os estados internos do sistema estão extendidos, o que faz com que o sistema se comporte como um condutor. Na fase de isolador os estados internos estão exponencialmente localizados. O ponto de transição metal-isolador, que ocorre quando a transição de estados localizados a estados extendidos, caracteriza-se por uma variedade interessante de propriedades críticas, pelo que o ponto de transição é também conhecido por ponto crítico. Em particular, os estados internos mostram flutuações a todas as escalas e representam objectos fractais. No ponto de transição o sistema não é nem um metal nem um isolador e as propriedades de transporte são consideradas críticas ou anómalas.

Na imagem: Exemplo de um estado interno para o modelo de Anderson tridimensional no ponto de transição metal-isolador. No ponto crítico, os estados são fractais mas, ao contrário dos fractais naturais (con auto-similaridade aproximada) ou os fractais matemáticos (com auto-similaridade exacta), nos sistemas desordenados críticos os estados internos mostram auto-similaridade estatísticas. Note que estado crítico está extendido no interior do cubo, que define o volume do sistema, que no entanto não ocupa todo o volume permitido. Por esta razão, diz-se que os estados críticos têm uma dimansão efectiva (dimensão fractal) que é menor que a dimensão real do sistema, que neste caso é 3. Imagem retirada de L. J. Vasquez, A. Rodriguez, and R. A. Roemer, Phys. Rev. B 78 195106 (2008).

OBJECTIVOS DO PROJECTO

No projecto CRITICALIDAD, investigadores mexicanos estão interessados em estudar os efeitos da fractalidade dos estados críticos nas propriedades do transporte de electrões através de sistemas na transição de Anderson. Em particular, serão estudadas medidas de transporte de electrões como a transmissão, reflexão, condutividade e outras medidas relacionadas (tais como, a sua distribuição, variância, média, e o ruído quântico) em função de alguns parâmetros do sistema (tamanho linear L, número de terminais ligados e intensidade de ligação).

Na imagem: Arranjo tridimensional dos pontos ligados com os seus primeiros vizinhos. Também conhecido como modelo de Anderson tridimensional. No exemplo o tamanho linear do sistema é L=3, no entanto o volume total é L³=27. Cada ponto representa um átomo ou molécula dentro de uma rede cristalina finita. Neste modelo, a desordem é representada por um potencial aleatório atribuído a cada um dos pontos. Note-se que à face esquerda do cubo estão acoplados 9 terminais ou portos por onde se fazem incidir electrões. Os electrões incidentes interagem com os pontos da rede antes de serem dispersos ou expulsos para o exterior da estrutura cristalina através dos terminais do mesmo.